已知数列{an}中.a(n+1)=an+2n-1,则通项an=

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 00:51:32
还有

已知数列│{an}│满足a1=0.a(n+1)+sn=n^2+2n(n∈И*),求通项an
(需详细过程)

在数列{an}中,已知a1=1,a(n+1)=2an/an+2(n∈И*),求数列{an}的通项.
(需详细过程)

第一个问题：
利用累加法a(n+1)=an+2n-1
故a(n+1)-an=2n-1
an -a(n-1)=2（n-1）-1
. .
. .

. .
a2 -a1 =1
加得a(n+1)-a1 =n(n+1)-n
故an=（n-1）^2+a1

第二个问题：
利用sn-S（n-1）=an

因为a(n+1)+sn=n^2+2n， (n∈И*),
所以an+S（n-1）=（n-1）^2+2（n-1），n大于1的正整数
做差得a(n+1)-an+an=（2n-1）+2
a(n+1)=2n+1故an=2n-1

第三个问题：
可用观察法，将等式两边同时取倒数！可解

a(n+1)=an+2n-1
所以an=a(n-1)+2(n-1)+1
……
a2=a1+2*(1-1)+1
加起来
a(n+1)+an+……+a2=an+a(n-1)+……+a2+a1+2[n+(n-1)+……+1]+n*1
a(n+1)=a1+n(n+1)+n=n^2+2n+a1
an=(n-1)^2+2(n-1)+a1=n^2-1+a1

a(n+1)+Sn=n^2+2n
an+S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)
相减
a(n+1)+Sn-S(n-1)-an=2n-1+2
a(n+1)+an-an=2n+1
a(n+1)=2n+1
an=2(n-1)+1=2n-1

a(n+1)=2an/(an+2)
1/a(n+1)=(an+2)/2an
1/a(n+1)=1/2+1/an
所以1/an=1/2+1/a(n-1)
……
1/a2=1/2+1/a1
相加
1/a(n+1)=n*1/2+1/a1=n/2+1=(n+2)/2
a(n+1)=2/(n+2)
an=2/(n-1+2)=1/(n+1